线性代数，矩阵的运算

1. 矩阵的基本概念

在开始运算之前，先确保你了解矩阵的定义：

矩阵：一个矩阵是一个由数字（或符号）排列成的矩形阵列，通常用大写字母（如 $A, B$ ）表示。
矩阵的维度用“行数 × 列数”表示。例如，一个 2×3 的矩阵有 2 行和 3 列： $A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]$

定义：只有当两个矩阵具有相同的维度（即相同的行数和列数）时，才能相加。加法是将对应位置的元素相加。
公式：如果 $C = A + B$ ，则 $C_{i j} = A_{i j} + B_{i j}$ 。
示例：假设有以下两个矩阵：
$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$
则它们的和为：
$A + B = [\begin{matrix} 1 + 5 & 2 + 6 \\ 3 + 7 & 4 + 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{matrix}]$
注意：如果两个矩阵维度不同（比如一个是 2×2，另一个是 2×3），则无法相加。

定义：矩阵乘法（也叫点乘）是将一个矩阵的行与另一个矩阵的列进行对应元素的乘积求和。矩阵 $A$ （维度 $m \times n$ ）和矩阵 $B$ （维度 $n \times p$ ）相乘的结果是一个 $m \times p$ 的矩阵。
条件：矩阵 $A$ 的列数必须等于矩阵 $B$ 的行数。
公式：如果 $C = A \cdot B$ ，则 $C_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} A_{i k} \cdot B_{k j}$ 。
示例：假设有以下两个矩阵：
$A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}], B = [\begin{matrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}]$
则它们的乘积为：
$A \cdot B = [\begin{matrix} 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 & 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 & 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 + 14 & 6 + 16 \\ 15 + 28 & 18 + 32 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{matrix}]$
注意：矩阵乘法不满足交换律，即 $A \cdot B \neq B \cdot A$ （除非满足特定条件）。

定义：叉乘是两个三维向量之间的运算，结果是一个新的向量。这个新向量垂直于原始两个向量所在的平面，并且其方向可以通过“右手定则”确定。
条件：叉乘通常只适用于三维向量（即每个向量有 3 个分量）。
公式：对于向量 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 和 $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ，叉乘 $a \times b$ 为：
$a \times b = (a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$
示例：假设有两个向量：
$a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)$
则叉乘为：
$a \times b = (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5, 3 \cdot 4 - 1 \cdot 6, 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4) = (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8) = (- 3, 6, - 3)$
注意：叉乘的结果是一个向量，而非标量；另外，叉乘不满足交换律， $a \times b = - (b \times a)$ 。